Question

如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于點P，且PC=BC．

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠A=，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑是6．

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質求得∠OBP+∠CBP=90°，則BC是⊙O的切線；
（2）根據銳角三角函數定義，可設OP=x，則OA=3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出關于x的方程（x+8）²=（3x）²+8²，通過解該方程可以求得x=2，則OA=3x=6．
試題解析：（1）相切．理由如下：
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA．
∵CP=BP，
∴∠CBP=∠BPC．
∵∠OPA=∠BPC，∠A+∠OPA=90°，
∴∠OBP+∠CBP=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）∵tanA=，
∴設OP=x，則OA=3x．
在Rt△OBC中，（x+8）²=（3x）²+8²，
解得 x=2，則OA=6，
∴⊙O的半徑是6．