Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CE與⊙O切于點C，交AB的延長線于點E，過點A作AD⊥EC交EC的延長線于點D，交⊙O于點F，連接BC，CF．

(1)求證：AC平分∠BAD；

(2)若AD＝6，∠BAF＝60°，求四邊形ABCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）12

【解析】

（1）連接OC，如圖，根據切線的性質得OC⊥CD，則可判斷∴OC∥AD得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，從而得到∠1=∠3；

（2）連接OF，如圖，先證明△AOF、△OBC和△COF都為等邊三角形，再利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=AD=2，DF=CD=2，所以CF=2DF=4，然后根據三角形面積公式計算S四邊形ABCF．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵CE與⊙O切于點C，

∴OC⊥CD，

而AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AC平分∠BAD；

（2）解：連接OF，如圖，

∵∠BAF=60°，

∴△AOF為等邊三角形，∠1=∠3=60°，

∴∠BOC=∠COF=60°，

∴△OBC和△COF都為等邊三角形，

在Rt△ACD中，CD=AD=×6=2，

在Rt△CDF中，∠FCD=90°-∠OCF=30°，

∴DF=CD=2，

∴CF=2DF=4，

∴S四邊形ABCF=3S△OAF=3××4×2=12．