Question

【題目】如圖所示，以的邊為直徑作，點C在上，是的弦，，過點C作于點F，交于點G，過C作交的延長線于點E．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE＝．

【解析】

（1）連接OC，由∠A＝∠CBD可得，進而根據垂徑定理可得OC⊥BD，然后根據CE∥BD即可推出OC⊥CE，問題即得解決；

（2）由AB為直徑可得∠ACB＝90°，然后根據同角的余角相等得出∠A＝∠BCF，進而可得∠BCF＝∠CBD，進一步即可證得結論；

（3）根據（2）的結論和30°角的直角三角形的性質可求得GF和BF的長，再在直角△CEF中利用30°角的直角三角形的性質可求得EF的長，進一步即可求出結果.

（1）證明：連接OC，如圖，

∵∠A＝∠CBD，∴，∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，

∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，

∴CG＝BG；

（3）解：∵∠DBA＝30°，，∴，，

∵，，∴，，

∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴，

∴BE＝．