Question

【題目】如圖，點O為△ABC外接圓的圓心，以AB為腰作等腰△ABD，使底邊AD經過點O，并分別交BC于點E、交⊙O于點F，若∠BAD＝30°．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）當CA2＝CECB時，

①求∠ABC的度數；

②的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠ABC＝45°；②＝．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可得∠D＝∠BAD＝30°＝∠ABO，由外角性質可得∠BOD＝60°，即可得∠OBD＝90°，可得結論；

（2）①由題意可證△ACE∽△BCA，可得∠CAE＝∠ABC＝∠CBF，由圓周角定理可求∠ABC的度數；

②通過證明△ACE∽△BFE，可得＝．

（1）連接OB，

∵△ABD是等腰三角形，∠BAD＝30°

∴∠D＝∠BAD＝30°

∵OA＝OB

∴∠BAD＝∠ABO＝30°

∴∠BOD＝60°

∴∠OBD＝90°，

即OB⊥BD

∴BD是⊙O的切線；

（2）①連接BF

∵AF是直徑

∴∠ABF＝90°

∵CA2＝CECB

∴且∠C＝∠C

∴△ACE∽△BCA

∴∠CAE＝∠ABC

∵∠CAE＝∠CBF

∴∠ABC＝∠CBF，且∠ABF＝90°

∴∠ABC＝45°

②連接OC

∵∠CAF＝∠ABC＝45°，AO＝CO

∴∠CAF＝∠ACO＝45°，∠AOC＝90°

∴AC＝OA

∵∠BOF＝60°，OF＝OB

∴△OBF是等邊三角形

∴BF＝OF＝OB

∵∠CAF＝∠CBF，∠AFB＝∠ACB

∴△ACE∽△BFE

∴＝