Question

【題目】已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點F．如圖，60°≤∠BAC≤120°，△ACF與△ABC在直線AC的同側．

（1）①補全圖形；

②∠EAF+∠CEF＝　 　；

（2）猜想線段FA，FB，FE的數量關系，并證明你的結論；

（3）若BC＝2，則AF的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①圖形如圖 1 所示；②結論：∠EAF+∠CEF=60°，理由見解析；（2）結論：FA=FE+FB．理由見解析；（3）AF 的最大值為．

【解析】

（1）①根據要求畫出圖形，如圖1所示；
②結論：∠EAF+∠CEF=60°如圖1中，以A為圓心，AB為半徑畫圓．作AH⊥BE于H．首先證明∠EBC=∠FAH=30°，根據三角形的內角和定理和外角的性質即可解決問題；
（2）結論：FA=FE+FB．如圖2中，在FA上取一點K，使得FK=FE，連接EK．只要證明△AEK≌△CEF（SAS），即可解決問題；
（3）因為60°≤∠BAC≤120°，所以觀察圖象可知，當∠BAC=60°時，AF的值最大，求出AD，DF即可解決問題；

（1）①圖形如圖 1 所示；

②結論：∠EAF+∠CEF=60°

理由：如圖 1 中，以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓．作 AH⊥BE 于 H．

∵AB=AC=AE，

∴B，E，C 在⊙A 上，

∵△AEC 是等邊三角形，

∴∠EAC=60°，

∴∠EBC=EAC=30°，

∵AB=AE，AH⊥BE，

∴∠EAH= ∠BAE，

∵∠BCE= ∠BAE，

∴∠BCE=∠EAH，

∴AD⊥BC，

∴∠BDF=∠AHF=90°，∠BFD=60°，

∴∠HAF=30°，

∴∠EAF+∠CEF=∠EAF+∠EBC+∠BCE=∠EAF+∠EAH+∠EBC=30°+30°=60°．

（2）結論：FA=FE+FB．

理由：如圖 2 中，在 FA 上取一點 K，使得 FK=FE，連接 EK．

∵FE=CK，∠EFK=60°，

∴△EFK 是等邊三角形，

∴EK=EF，∠EKF=∠KEF=60°，

∵∠AEC=∠KEF=60°，

∴∠AEK=∠CEF，

∵AE=EC，EK=EF，

∴△AEK≌△CEF（SAS），

∴AK=FC，

∵AD 垂直平分線段 BC，

∴FB=CF，

∴FA=FK+AK=FE+FC=FE+FB．

如圖 3 中．

∵60°≤∠BAC≤120°，

觀察圖象可知，當∠BAC=60°時，AF 的值最大， 此時∵AB=AC=BC=2，AF⊥BC，

∴AD=ABsin60°=，DF=BDtan30°= ，

∴AF=+= ，

∴AF 的最大值為．