Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC,DC分別交于點G，F，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，FH．下列結論中結論正確的有（ ）
①EG=DF；
②∠AEH+∠ADH=180°；
③△EHF≌△DHC；
④若 = ，則S△EDH=13S△CFH ．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，

∴EG=DF，

故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，

故②正確；

③由②知：△EHF≌△DHC，

故③正確；

④∵ = ，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD為等腰直角三角形，

過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x，則CF=2x，

∴DF=2FC=4x，

∴DM=5x，DH= x，CD=6x，

則S△CFH= ×HM×CF= x2x=x2，S△EDH= ×DH2= × =13x2，

∴則S△EDH=13S△CFH，故④正確；

其中結論正確的有：①②③④，4個；
故D符合題意.

所以答案是：D．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．