Question

【題目】如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，OC．以下五個結論：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC ; ③△APC≌△BOC; ④△DPC≌△EQC;⑤ ∠AOB＝60°．

其中正確的是（ ）

A. ①②③④⑤ B. ①④⑤ C. ①④D. ①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據角的和差求出∠ACD＝∠BCE，結合等邊三角形的性質利用SAS可證明△ACD≌△BCE，①正確；求出∠BCQ=60°，可得∠ACO≠∠BCQ，故②錯誤；同理可得∠ACP≠∠BCO，故③錯誤；首先證明△CQB≌△CPA，得到CP=CQ，即可證明△DPC≌△EQC，④正確；根據∠CBE＝∠DAC利用三角形外角的性質可求出∠AOB＝60°，⑤正確．

解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），①正確；

∵∠BCQ=180°－60°－60°=60°，∠ACO=60°+∠BCO，

∴∠ACO≠∠BCQ，

∴△AOC≌△BQC錯誤，②錯誤；

∵∠ACP=60°，∠BCO=60°-∠OCQ，

∴∠ACP≠∠BCO，

∴△APC≌△BOC錯誤，③錯誤；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠DAC，

又∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC，

∴△CQB≌△CPA，

∴CP=CQ，

又∵∠PCD＝∠QCE＝60°，CD=CE，

∴△DPC≌△EQC，④正確；

∵∠CBE＝∠DAC，∠CBE+∠AEB=180°-120°=60°，

∴∠AOB=∠DAC+∠AEB=∠CBE+∠AEB=60°，⑤正確，

故選：B.