Question

【題目】已知CA＝CB，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線．E，F是直線CD上的兩點，且∠BEC＝∠CFA＝α．

（1）若直線CD在∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，則BE　 　CF；EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于α與∠BCA數量關系的條件　 　，使①中的兩個結論仍然成立，補全圖形并證明．

（2）如圖3，若直線CD在∠BCA的外部，∠BCA＝α，請用等式直接寫出EF，BE，AF三條線段的數量關系　 　．（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）①=，=；②α+∠BCA＝180°，補全圖形和證明見解析；（2）EF＝BE+AF

【解析】

（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，

∴∠CBE＝∠ACF，

∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，EF＝|CF﹣CE|＝||BE﹣AF；

故答案為：＝、＝；

②α+∠BCA＝180°，補全圖形如下：

在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，

∵∠BCA＝180°﹣α，

∴∠BCA＝∠CBE+∠BCE，

又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，

∴∠CBE＝∠ACF，

又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

又∵EF＝CE﹣CF，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案為：α+∠BCA＝180°．

（2）EF＝BE+AF，

如圖3，

∵∠BEC＝∠CFA＝α，α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF．

又∵BC＝CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，EC＝FA，

∴EF＝EC+CF＝BE+AF．

故答案為：EF＝BE+AF．