Question

【題目】如圖，已知二次函數：和二次函數：圖象的頂點分別為、，與軸分別相交于、兩點（點在點的左邊）和、兩點（點在點的左邊），

　　　　　

（1）函數的頂點坐標為______；當二次函數，的值同時隨著的增大而增大時，則的取值范圍是_______；

（2）判斷四邊形的形狀（直接寫出，不必證明）；

（3）拋物線，均會分別經過某些定點；

①求所有定點的坐標；

②若拋物線位置固定不變，通過平移拋物線的位置使這些定點組成的圖形為菱形，則拋物線應平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2）四邊形是矩形；（3）①所有定點的坐標，經過定點或，經過定點或；②拋物線應平移的距離是或．

【解析】

（1）將已知拋物線解析式轉化為頂點式，直接得到點M的坐標；結合函數圖象填空；
（2）利用拋物線解析式與一元二次方程的關系求得點A、D、M、N的橫坐標，可得AD的中點為（1，0），MN的中點為（1，0），則AD與MN互相平分，可證四邊形AMDN是矩形；
（3）①分別將二次函數的表達式變形為和，通過表達式即可得出所過定點；

②根據菱形的性質可得EH1=EF=4即可，設平移的距離為x，根據平移后圖形為菱形，由勾股定理可得方程即可求解．

解：（1），頂點坐標為，

由圖象得：當時，二次函數，的值同時隨著的增大而增大．

故答案為：；；

（2）結論：四邊形是矩形．

由二次函數和二次函數解析式可得：

點坐標為，，點坐標為，，

頂點坐標為，頂點坐標為，

的中點為，的中點為，

與互相平分，

四邊形是平行四邊形，

又，

∴□是矩形；

（3）①二次函數，

故當或時，即二次函數經過、兩點，

二次函數，

故當或時，即二次函數經過、兩點，

②二次函數經過、兩點，二次函數經過、兩點，

如圖：四個定點分別為、，、，則組成四邊形為平行四邊形，

∴FH⊥HG，FH=2，HM=4-x，

設平移的距離為，根據平移后圖形為菱形，

則EH1=EF=H1M=4，

由勾股定理可得：FH2+HM2=FM2，

即，

解得：，

拋物線位置固定不變，通過左右平移拋物線的位置使這些定點組成的圖形為菱形，則拋物線應平移的距離是或．