Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且過點．

（1）直接寫出a的值和點B的坐標；

（2）將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M，N兩點，兩拋物線交于點P，求點M到直線PB的距離；

（3）在（2）的條件下，若點D為直線BP上的一個動點，是否存在點D，使得？若存在，請求出點D的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）D點坐標為或．

【解析】

（1）將點（－2，4）代入y＝a（x＋5）（x3）即可求出a，根據拋物線解析式可直接得出點B的坐標；

（2）作于點C，連接MP，首先求出平移后的新拋物線解析式，得到點M、P的坐標，然后求出BP，利用S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，即可求解；

（3）作BE平分交OP于E，作于F，根據求出，然后在中，可得，然后分情況討論：①點D在x軸上方，設AD交y軸于點H，根據求出點H的坐標，然后求得直線PB與直線AH的解析式，聯立即可求出點D的坐標，②點D在x軸下方，設AD交y軸于點K，同理可求點D的另一個坐標．

解：（1）將點代入得：，

解得：，

∵拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），

∴；

（2）作于點C，連接MP，

由題意得：將點向右平移2個單位得到點M為，

原拋物線解析式為，

則新拋物線解析式為，

聯立，解得：，

∴點P的坐標為，

∵，，

∴，，，

∴，

∵S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，

∴，

即點M到直線PB的距離為；

（3）存在符合題意的點D為或，

作BE平分交OP于E，作于F，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴在中，，

分兩種情況：

①如圖，點D在x軸上方，設AD交y軸于點H，

∵，

∴，即

∴，

∴點H坐標為，

設直線PB的解析式為，

代入和得：，解得：，

∴直線PB的解析式為，

設直線AH的解析式為，

代入和得：，解得：，

∴直線AH的解析式為，

聯立，得，

∴直線AH與直線BP的交點坐標為；

②如圖，點D在x軸下方，設AD交y軸于點K，

同①的方法可求得點D坐標為，

綜上所述，存在滿足題目條件的D點坐標為或．