Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）與x軸交于點A（4，0）和點C，與y軸交于點B．

（1）求拋物線解析式和點B坐標；

（2）在x軸上有一動點P（m，0）過點P作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線與點M，當點M位于第一象限圖象上，連接AM，BM，求△ABM面積的最大值及此時M點的坐標；

（3）如圖2，點B關于x軸的對稱點為D，連接AD，BC．

①填空：點P是線段AC上一點（不與點A、C重合），點Q是線段AB上一點（不與點A、B重合），則兩條線段之和PQ+BP的最小值為　 　；

②填空：將△ABC繞點A逆時針旋轉a（0°＜α＜180°），當點C的對應點C′落在△ABD的邊所在直線上時，則此時點B的對應點B′的坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y＝x2+x+2，B（0，2）；（2）S△ABM的最大值＝4，（2，3）；（3）或或．

【解析】

(1)將A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2，可求出a的值，將a的值代入即得到拋物線解析式，令x＝0，求y，得點B坐標；

(2)待定系數法求直線AB的解析式，設點P(m，0)，將S△ABM表示成m的二次函數，配方成頂點式即可求得△ABM面積的最大值及此時M點的坐標；

(3)①求PQ+BP的最小值利用對稱進行轉化，應用“兩點之間線段最短”及“垂線段最短”可以得到“PQ+BP的最小值”即為點D到直線AB的距離；.

②題在△ABC繞A逆時針旋轉過程中，按照依次落在直線BD、AD、AB上分類討論．

(1)將A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2，

得16a+4(a+2)+2＝0，解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x2+x+2，

令x＝0，得y＝2，

∴B(0，2)；

(2)如圖1，過點M作ME⊥AB于E，設P(m，0)，M(m，m2+m+2)，

設直線AB的解析式為y＝kx+b，將A(4，0)，B(0，2)分別代入，

得，解得，

∴直線AB的解析式為y=x+2，

∴N(m，m+2)，

∴MN=m2+m+2-(m+2)= m2+2m，

∵MN⊥x軸，

∴MN∥y軸，

∴∠MNE＝∠ABO，又∵∠MEN＝∠AOB＝90°，

∴△MEN∽△AOB，

∴，

∴ME×AB＝AO×MN，

∴＝﹣(m﹣2)2+4，

∵﹣1＜0，0＜m＜4，

∴當m＝2時，S△ABM的最大值＝4，

此時，點M的坐標為(2，3)；

(3)①如圖2，連接BP、DP、PQ，則PQ+BP＝PQ+DP，只有當D、P、Q三點在同一直線上，且DP⊥AB時，PQ+BP的值最小．

過點D作DQ⊥AB于Q，交x軸于P，OA＝4，OB＝2，AB＝＝2，

∵B、D關于x軸對稱，

∴D(0，﹣2)，BD＝4，

∵BD×AO＝DQ×AB，

∴DQ＝，即PQ+BP的最小值＝，

故答案為：；

②如圖3，點C′落在直線BD上，

在拋物線解析式y＝x2+x+2中，令y＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，

∴C(﹣1，0)，AC＝5，BC＝，

∵AB2+BC2=(2)2+()2=25=AC2，

∴∠ABC＝90°，

由旋轉知，AC′＝AC＝5，B′C′＝BC＝，AB′＝AB＝2，∠AB′C′＝∠ABC＝90°，

OC′=＝3，∴C′(0，﹣3)，

設AB′交y軸于F，過B′作B′G⊥y軸于G，

∵∠AOF＝∠C′B′F＝90°，∠AFO＝∠C′FB′

∴△AFO∽△C′FB′，

∴∠FAO＝∠FC′B′，，即，

∴AF=，

∵AO2+OF2＝AF2，

∴，解得OF=，

∴AF=，

∵∠C′GB′＝∠AOF＝90°，

∴△C′GB′∽△AOF，

∴，即B′G×AF＝OF×B′C′，

∴，∴，

∴，即C′G×AF＝OA×B′C′，

∴，∴，

∴；

如圖4，點C′落在直線AD上，∵∠BAC＝∠OAD，

∴點B的對應點B′落在x軸上，由旋轉知：△AB′C′≌△ABC，

∴AB′＝AB＝2，OB′＝2-4，

∴B′(4-2，0)；

如圖5，點C′落在直線AB上，過C′作C′B″⊥x軸于B″，作B′M⊥x軸于M，作DQ⊥AB于Q，

∵∠B″AC′＝∠BAC＝∠B′AC′，∠AB″C′＝∠AB′C′＝∠ABC＝∠AQD＝∠AM′＝90°，AC′＝AC＝5，

∴∠BAD＝∠B′AB″，AB＝AD＝AB′＝AB″，

∴△ADQ≌△AB′M，

∴B′M＝DQ＝，

∴，

OM=OA+AM=4+=，

∴B′(，-)，

故答案為：或或．