Question

【題目】（問題背景）

如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD＝∠BAC＝60°，.

（問題應用）

如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三點共線，連接BD，

（1）求證：△ADB≌△AEC；

（2）直接寫出AD、BD、CD之間的數量關系；

如圖3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC內部作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE、CF．

（1）判斷△EFC的形狀，并給出證明．

（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的長．

Answer 1

【答案】【問題應用】（1）見解析;（2）結論：CD＝AD+BD,理由見解析;如圖3，（1）見解析;（2）BF＝3．

【解析】

如圖2，（1）只要證明∠DAB＝∠CAE，即可根據SAS解決問題；

（2）結論：CD＝AD+BD．如圖2﹣1中，作AH⊥CD于H，由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解決問題；

如圖3，（1）作BH⊥AE于H，連接BE．由BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，推出A、D、E、C四點共圓，推出∠ADC＝∠AEC＝120°，推出∠FEC＝60°，推出△EFC是等邊三角形；

（2）由AE＝5，EC＝EF＝2，推出AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH＝30°，可得＝cos30°，由此即可解決問題．

解：【問題應用】如圖2，（1）

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，

∴∠DAB＝∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

∵，

∴△DAB≌△EAC，

（2）結論：CD＝AD+BD．

理由：如圖2﹣1中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD＝CE，

在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．

如圖3，（1）證明：如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，

∴△ABD，△/span>BDC是等邊三角形，

∴BA＝BD＝BC，

∵E、C關于BM對稱，

∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，

∴A、D、E、C四點共圓，

∴∠ADC＝∠AEC＝120°，

∴∠FEC＝60°，

∴△EFC是等邊三角形，

（2）∵AE＝5，EC＝EF＝2，

∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，

∴＝cos30°，

∴BF＝＝3．

故答案為：【問題應用】（1）見解析;（2）結論：CD＝AD+BD,理由見解析;如圖3，（1）見解析;（2）BF＝3．