Question

19．問題：
如圖1，DE∥GB，DE=GB，BD與EG相交于點F，證明：△DEF≌△BGF．
拓展一：
如圖2，在△ACB和△AED中，點E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠DEA=∠BCA=90°，連接BD，取BD中點F，連接FE、FC，請你探究CF和EF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
拓展二：
如圖3，四邊形ABCD∽四邊形BEFG，點E在AB的延長線上，P是線段DF的中點，連接CP、PG，若CP⊥PG，則四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是菱形；若CP⊥PG、且PC=$\sqrt{3}$PG，則四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是菱形且∠A=60°．

Answer 1

分析 問題：根據(jù)品牌形象的性質(zhì)得到∠D=∠B，∠E=∠G，然后根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論．
拓展一：連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
拓展二：可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出兩三角形中兩組對應(yīng)的角相等，又有DP=PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（ASA），于是兩三角形全等，那么HP=PG，可根據(jù)三角函數(shù)來得出PG、CG的比例關(guān)系．

解答 問題：證明：∵DE∥GB，
∴∠D=∠B，∠E=∠G，
在△DEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{DE=BG}\\{∠E=∠G}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BGF．

拓展一：解：如圖，連結(jié)CF、AF，
∵AC=BC，AE=DE，∠DEA=∠BCA=90°，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵點F是BD的中點，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直線垂直平分線段AB，
同理，EF所在的直線垂直平分線段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴CE=EF；
拓展二：解：若CP⊥PG，四邊形ABCD是菱形，
如圖3，
設(shè)GP交DC交于點H，
∵四邊形ABCD∽四邊形BEFG，
∴四邊形BFEG是菱形，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
由題意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
在△GFP和△HDP中$\left\{\begin{array}{l}{∠GPF=∠HPD}\\{PF=DP}\\{∠GFP=∠HDP}\end{array}\right.$，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC；
若CP⊥PG、且PC=$\sqrt{3}$PG，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，
∵∠DCB=∠A=60°，
∴∠PCG=30°，
∴∠CGP=60°，
∴tan∠PGC=$\frac{PC}{PG}$=$\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{3}$PG．
故答案為：菱形，菱形，∠A=60°．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．