Question

11．如圖，已知?ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于E．
（1）若∠CAE=30°，AC=6，求?ABCD的面積；
（2）求證：AB=2OE．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到AO=2OE，由（2）得到AB=2OE，得到△ABO是等邊三角形，得到AO=BO，推出?ABCD是矩形，于是得到結論；
（2）取AB的中點F，連接EF、OF，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，根據等邊對等角可得∠ABD=∠BEF，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠EFO=∠EOF，再根據等角對等邊可得EF=OE，從而得證．

解答 解：（1）∵AE⊥BO，
∴∠AEO=90°，
∵∠CAE=30°，
∴∠AOB=60°，AO=2OE，
由（2）得到AB=2OE，
∴AB=AO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面積=AB•BC=9$\sqrt{3}$；

（2）證明：如圖，取AB的中點F，連接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵AO=CO，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根據三角形的外角性質，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OE．

點評 本題考查了平行四邊形的對邊平行，對角線互相平分的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，作輔助線是解題的關鍵．