Question

7．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點E，點F為四邊形ABCD外一點，DA平分∠BDF，∠ADF=∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDF是菱形；
（2）若AB=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ABDF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可證明．
（2）設BE=x，則DE=5-x，由AD²-DE²=AB²-BE²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：∵∠ADF=∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠AFD=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB，
∴四邊形ABDF是菱形．

（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠AFD=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
設BE=x，則DE=5-x，
∴AD²-DE²=AB²-BE²，
∴6²-（5-x）²=5²-x²，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定、角平分線的性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是利用勾股定理列方程，屬于中考常考題型．