Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，tan∠ACB＝，將其沿對角線AC剪開得到△ABC和△ADE（點C與點E重合），將△ADE繞點A旋轉，當線段AD與AB在同一條直線上時，連接EC，則∠ECB的正切值為_____．

Answer 1

【答案】或3

【解析】

分兩種情況：①由三角函數定義求出BC=2AB，由旋轉的性質得出AD'=AD=2AB=2BD'，D'E=DE=AB，∠AD'E=90°，證明△BCF∽△D'EF，得出 =2，
求出BF= BD'= BC，由三角函數定義即可得出答案；
①作EG⊥BC于G，交AD于F，則EG=D'B=3AB，D'E=BG=AB，得出CG=BG=AB，由三角函數定義即可得出答案．

分兩種情況：

①如圖1所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC=90°，
∵tan∠ACB= ，
∴BC=2AB，
由旋轉的性質得：AD'=AD=2AB=2BD'，D'E=DE=AB，∠AD'E=90°，
∴D'E∥BC，
∴△BCF∽△D'EF，

∴ =2，
∴BF= BD'= BC，

∴∠ECB的正切值=；
①如圖2所示：作EG⊥BC于G，交AD于F，
則EG=D'B=3AB，D'E=BG=AB，
∴CG=BG=AB，
則∠ECB的正切值= =3；
綜上所述，∠ECB的正切值為或3；
故答案為：或3．