Question

【題目】如圖，在等邊中，分別為的中點，延長至點，使，連結和．

（1）求證：

（2）猜想：的面積與四邊形的面積的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）相等，理由見解析．

【解析】

（1）直接利用三角形中位線定理得出DE∥BC，且DE=BC，再利用平行四邊形的判定方法得出答案；
（2）分別過點A，D，作AM⊥DE，DN⊥BC，根據等底等高的三角形面積相等求得S△ADE=S△ECF，再根據S△ADE +S四邊形BDEC=S△ECF +S四邊形BDEC可得出結果．

（1）證明：∵D，E分別為AB，AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC，DE＝BC．

∵CF＝BC，

∴DE∥CF，DE=CF，

∴四邊形DEFC為平行四邊形，

∴CD=EF；

（2）解：相等．理由如下：

分別過點A，D，作AM⊥DE，DN⊥BC，則∠AMD=∠DNB=90°，

∵DE∥BC，

∴∠ADM=∠DBN．

∵AD=DB，

∴△ADM≌△DBN(AAS)，

∴AM=DN．

又∵DE=CF，

∴S△ADE=S△ECF （等底等高的三角形面積相等）．

∴S△ADE +S四邊形BDEC=S△ECF +S四邊形BDEC，

∴△ABC的面積等于四邊形BDEF的面積．