Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE．將△ABE沿AE所在直線折疊，點B的對應點是點B′，連接AB′并延長交直線DC于點F．

（1）當點F與點C重合時如圖1，證明：DF+BE=AF；

（2）當點F在DC的延長線上時如圖2，當點F在CD的延長線上時如圖3，線段DF、BE、AF有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）由折疊可得AB＝AB′，BE＝B′E，再根據四邊形ABCD是正方形，易證B′E＝B′F，即可證明DF＋BE＝AF；

（2）圖（2）的結論：DF＋BE＝AF；圖（3）的結論：BE－DF＝AF；證明圖（2）：延長CD到點G，使DG＝BE，連接AG，需證△ABE≌△ADG，根據CB∥AD，得∠AEB＝∠EAD，即可得出∠B′AE＝∠DAG，則∠GAF＝∠DAE，則∠AGD＝∠GAF，即可得出答案BE＋DF＝AF．

試題解析：

解：（1）由折疊可得AB＝AB′，BE＝B′E，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，

∴B′E＝B′F，

∴AF＝AB′＋B′F，

即DF＋BE＝AF；

（2）圖（2）的結論：DF＋BE＝AF；

圖（3）的結論：BE﹣DF＝AF；

圖（2）的證明：延長CD到點G，使DG＝BE，連接AG，

易證△ABE≌△ADG，

∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠AGD，

∵∠BAE＝∠B′AE，

∴∠B′AE＝∠DAG，

∴∠GAF＝∠DAE，

∵CB∥AD，

∴∠AEB＝∠EAD，

∴∠AGD＝∠GAF，

∴GF＝AF，

∴BE＋DF＝AF；

圖（3）的證明：在BC上取點M，使BM＝DF，連接AM，

易證△ABM≌△ADF，

∴∠BAM＝∠FAD，AF＝AM，

∵△ABE≌AB′E，

∴∠BAE＝∠EAB′，

∴∠MAE＝∠DAE，

∵AD∥BE，

∴∠AEM＝∠DAB，

∴∠MAE＝∠AEM，

∴ME＝MA＝AF，

∴BE﹣DF＝AF．