Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于點O，點M、N分別是OB、OC的中點.

（1）求證：EN與DM互相平分；
（2）若AB=AC，判斷四邊形DEMN的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BD、CE分別是邊AC、AB上的中線

∴點D、E分別是邊AC、AB的中點

∴DE是△ABC的中位線

∴DE∥BC，DE= BC

同理得：MN∥BC，MN= BC

∴DE∥MN，DE= MN

∴四邊形DEMN是平行四邊形

∴EN與DM互相平分

（2）

解：四邊形DEMN是矩形.理由如下：

∵AB=AC

∴∠EBC=∠DCB

∵點D、E分別是邊AC、AB的中點

∴EB=DC

又BC=CB

∴△EBC≌△DCB

∴EC=DB

∵EN與DM互相平分，點M、N分別是OB、OC的中點

∴OE= EC，OD= BD

∴OE=OD

即EN=DM

∴□DEMN是矩形

【解析】（1）根據D、E、M、N分別是中點,由三角形中位線定理可以得出DE∥BC，DE= BC；MN∥BC，MN= BC；再根據等量代換得到DE∥MN，DE= MN；根據平行四邊形的判定一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得EN與DM互相平分。
（2）由AB=AC得到∠EBC=∠DCB，再由點D、E分別是中點得到EB=DC；由已知條件得到△EBC≌△DCB（SAS），再由全等三角形性質得到EC=DB；
根據中點可以得出OE= EC，OD= BD；再等量代換得OE=OD；即EN=DM；根據對角線相等的平行四邊形是矩形。
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形中位線定理(連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半)，還要掌握平行四邊形的判定與性質(若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積)的相關知識才是答題的關鍵．