Question

【題目】如圖，邊長為a的正△ABC內有一邊長為b的內接正△DEF，則△AEF的內切圓半徑為_____（用含a、b的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（a﹣b）．

【解析】

根據切線長定理得到AD＝AE＝（AB＋ACBC），證明△AEF≌△CDE≌△BFD，根據正切的概念計算．

解：如圖（1），⊙I是△ABC的內切圓，由切線長定理可得：AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，

AD＝AE＝ [（AB+AC）﹣（BD+CE）]

＝ [（AB+AC）﹣（BF+CF）]

＝（AB+AC﹣BC），

在圖（2）中，由于△ABC，△DEF都為正三角形，

∴AB＝BC＝CA，EF＝FD＝DE，∠BAC＝∠B＝∠C＝∠FED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，

∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝120°，∠1＝∠3；

∴△AEF≌△CDE（AAS），

同理可證：△AEF≌△CDE≌△BFD，

∴BF＝AE，即AF+AE＝AF+BF＝a．

設M是△AEF的內心，MH⊥AC于H，

則AH＝（AE+AF﹣EF）＝（a﹣b），

∵MA平分∠BAC，

∴∠HAM＝30°；

∴HM＝AHtan30°＝（a﹣b）＝（a﹣b），

故答案為：（a﹣b）．