Question

【題目】如圖所示，在ΔABC中，DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，其垂足分別為點D、M，分別交BC于點E、N,且DE和MN交于點F.

(1)若∠B=24°，求∠BAE的度數.

(2)若AB=8，AC=11，思考ΔAEN的周長肯定小于多少？

(3)若∠EAN=40°，求∠F的度數.

Answer 1

【答案】（1）24°；（2）△AEN的周長肯定小于19；（3）70°.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質即可求出結果；

（2）先根據線段垂直平分線的性質得出△AEN的周長=BC的長，再根據三角形的三邊關系即可得出答案；

（3）根據線段垂直平分線的性質，可得AE=BE，AN=CN，又由等邊對等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形內角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN的度數，然后由四邊形的內角和等于360°即可求得∠F的度數；

解：（1）∵DE是邊AB的垂直平分線，∴EA=EB，∴∠BAE=∠B=24°；

（2）∵MN是邊AC的垂直平分線，∴NA=NC，

∴△AEN的周長=AE+EN+NA=BE+EN+NC=BC，

∵AC－AB<BC<AC+AB，∴3<BC<19，∴△AEN的周長肯定小于19；

（3）∵DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，

∴AE=BE，AN=CN，

∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，

∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，

∴∠BAE+∠CAN=70°，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°，

∵∠ADF=∠AMF=90°，

∴∠F=360°－∠ADF－∠AMF－∠BAC=360°－90°－90°－110°=70°；