Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線y＝（x＞0）交于點A（2，n）．

（1）求n及k的值；

（2）點B是y軸正半軸上的一點，且△OAB是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）n=4，k=2；（2）點B的坐標為（0，8），（0，2），（0，）．

【解析】

（1）由點A的橫坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出n值，進而可得出點A的坐標，由點A的坐標利用待定系數法可求出k值；

（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三種情況考慮：①當AB＝AO時，利用等腰三角形的性質可求出CB1的長度，結合點C的坐標可得出點B1的坐標；②當OA＝OB時，由點A的坐標利用勾股定理可求出OA的長度，利用等腰三角形的性質可得出OB2的長度，進而可得出點B2的坐標；③當BO＝BA時，設OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出關于m的方程，解之即可得出點B3的坐標．綜上，此題得解．

（1）∵點A（2，n）在雙曲線y＝上，

∴n＝＝4，

∴點A的坐標為（2，4）．

將A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，

解得：k＝2．

（2）分三種情況考慮，過點A作AC⊥y軸于點C，如圖所示．

①當AB＝AO時，CO＝CB1＝4，

∴點B1的坐標為（0，8）；

②當OA＝OB時，∵點A的坐標為（2，4），

∴OC＝4，AC＝2，

∴OA＝，

∴OB2＝2，

∴點B2的坐標為（0，2）；

③當BO＝BA時，設OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，

在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，

解得：m＝，

∴點B3的坐標為（0，）．

綜上所述：點B的坐標為（0，8），（0，2），（0，）．