Question

【題目】（1）問題發現與探究：

如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM⊥AE于點M，連接BD，則①線段AE、BD之間的大小關系是 ，∠ADB= °；②求證：AD=2CM+BD．

（2）問題拓展與應用：

如圖2、圖3，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點A作直線，在直線上取點D，∠ADC=45°，連結BD，BD=1，AC=，則點C到直線AD的距離是 ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）① AE=BD，90；②見解析；（2）或

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到AC=BC，CE=CD，由∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACE=∠BCD，證得△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，根據鄰補角的定義得到∠AEC=135°即可得到結論；②根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（2）如圖2，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根據勾股定理得到AB==2，

，由等腰直角三角形的性質即可得到結論．如圖3，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交DA的延長線于E，于是得到△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，根據勾股定理得到AB==2，，于是可得DE的長度，利用等腰直角三角形DEC的性質得出結論．

解:（1）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE與△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，

∵∠CED=∠CDE=45°，

∴∠AEC=135°，∴∠BDC=135°，

∴∠ADB=90°；

故答案為：AE=BD，90°；

②在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．

∴

(2) 如圖2，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，又∠ADC=45°

則△CDE是等腰直角三角形，

由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，

∵AB==2，

∴AD= ，

∴DE=AD-AE=，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CH=DE=，

如圖3所示，過C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交DA的延長線于E，又∠ADC=45°

則△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE=BD=1，∠ADB=90°，

∵AB==2， ∴AD= ，

∴DE=AE+AD=1+，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CH=DE=，

∴點C到直線的距離是 或，

故答案為： 或 ．