Question

【題目】已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分線，點P在CD上，CP=．將三角板的直角頂點放置在點P處，繞著點P旋轉，三角板的一條直角邊與射線CB交于點E，另一條直角邊與直線CA、直線CB分別交于點F、點G．

（1）如圖，當點F在射線CA上時，

①求證：PF＝PE．

②設CF＝x，EG＝y，求y與x的函數解析式并寫出函數的定義域．

（2）連接EF，當△CEF與△EGP相似時，求EG的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②（0≤x＜1）；（2）當△CEF與△EGP相似時，①當點F在射線CA上時，EG＝2，②當點F在AC延長線上時，EG＝2．

【解析】

（1）①過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，由已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質即可求出y與x的函數解析式，再寫出其自變量的取值范圍即可；

（2）當△CEF與△EGP相似時，點F的位置有兩種情況：①當點F在射線CA上時，②當點F在AC延長線上時，分別討論求出滿足題意的EG長即可．

（1）①過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，

∵CD是∠ACB的平分線，

∴PM＝PN，

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，

∴∠1+∠FPN＝90°，

∵∠2+∠FPN＝90°，

∴∠1＝∠2，

∴△PMF≌△PNE，

∴PF＝PE；

②∵CP＝，

∴CN＝CM＝1．

∵△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF＝1﹣x．

∴CE＝2﹣x．

∵CF∥PN，

∴△GCF∽△GNP，

∴．

∴．

∴（0≤x＜1）．

（2）當△CEF與△EGP相似時，點F的位置有兩種情況：

①當點F在射線CA上時，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，

∴∠G＝∠1．

∴FG＝FE．

∴CG＝CE．

在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2；

②當點F在AC延長線上時，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，

∴∠5＝∠2，

易證∠3＝∠4，可得∠5＝∠4，

∴FC＝CP＝，

∴FM＝1+，

易證△PMF≌△PNE，

可得EN＝1+，

∵CF∥PN，

∴，

∴GN＝﹣1．

∴EG＝2．