Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=a，P為邊BC上一動點（不與B、C重合），E是邊BC延長線上一點，連結AP，過點P作PF⊥AP交∠DCE的平分線于點F，連結AF與邊CD交于點G，連結PG．

猜想：線段PA與PF的數量關系為　 　．

探究：△CPG的周長在點P的運動中是否改變？若不改變求其值．

應用：若PG∥CF，當a=時，則PB=　 　．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）猜想：PA=PF，在在BA邊上截取BQ=BP，連接PQ，如圖1：

通過證：∠BAP=∠CPF，∠AQB=∠PCF，AQ=CP證得△AQP≌△PCF，即可得到PA=PF；

（2）△CPG的周長在點P的運動中不改變，是一個定值；理由如下：

如圖2，延長CB至M，使BM=DG，連接AM，先證△ABM≌△ADG，再證△PAM≌△PAG，從而可得：△CPG的周長= PG+PC+CG=PM+PC+CG=PB+BM+PC+CG

=PB+DG+PC+CG=BC+DC=2AB=2a；

（3）由PG∥CF可證得△PCG是等腰直角三角形，從而可得PC=GC，PG=PC，設PB= ，則PC=GC= ，PG=；結合（2）中結論可得： ，結合解此的方程，即可得到PB的值.

試題解析：

（1）猜想：PA=PF，理由是：

在BA邊上截取BQ=BP，連接PQ，如圖1：

可得△BPQ為等腰直角三角形，即∠BQP=45°，

∴∠AQP=135°，

又∵CF為直角∠DCE的平分線，

∴∠FCE=45°，

∴∠PCF=∠AQP=135°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，

∴AB﹣BQ=BC﹣BP，即AQ=PC，

∵PF⊥AP，

∴∠APF=90°，

∴∠APB+∠CPF=90°，

又∵∠APB+∠QAP=90°，

∴∠QAP=∠CPF，

在△AQP和△PCF中， ，

∴△AQP≌△PCF（ASA），

∴PA=FP；

故答案為：PA=PF；

探究：△CPG的周長在點P的運動中不改變，是一個定值；

如圖2，延長CB至M，使BM=DG，連接AM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADG=90°，

∴△ABM≌△ADG，

∴∠GAD=∠BAM，AG=AM，

由（1）可得得：AP=PF，又∵AP⊥PF，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴∠PAG=45°，

∵∠BAD=90°，

∴∠GAD+∠BAP=45°，

∴∠BAM+∠BAP=45°，

∴∠MAP=∠PAG=45°，

又∵AP=AP，

∴△PAM≌△PAG，

∴PM=PG，

∴△PCG的周長=PG+PC+CG，

=PM+PC+CG，

=PB+BM+PC+CG，

=PB+DG+PC+CG，

=BC+DC，

=2a；

應用：如圖3，∵PG∥CF，

∴∠PGC=∠GCF=45°，

∴△PCG是等腰直角三角形，

∴PC=CG，

設PB=x，則PC=CG=a﹣x，

由探究得：△PCG的周長=2a，

則PG+PC+CG=2a，

PC+2PC=2a，

(a﹣x)=2a，

把代入得：

解得： ，即PB=．