Question

【題目】閱讀下列材料：

我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結合閱讀材料，完成下列問題：

（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形　 　．

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是　 　 命題（填“真”或“假”）．

（3）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB＝BC，請求出∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1） C ；（2）假；（3）∠ABC的度數為60°或90°或150°.

【解析】

（1）由和諧四邊形的定義，即可得到菱形是和諧四邊形；
（2）和諧四邊形不一定是軸對稱圖形，舉出反例即可；
（3）首先根據題意畫出圖形，然后由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質，即可求出∠ABC的度數．

（1）根據和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠．

故選C.

（2）和諧四邊形不一定是軸對稱圖形，如圖所示：

∠C=45°，直角梯形ABCD是和諧四邊形，但不是軸對稱圖形，
故答案為：假；

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，
∴AB=AD=BC，
①如圖1，當AD=AC時，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
②如圖2，當DA=DC時，

∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°；
③如圖3，當CA=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC=∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°．