Question

【題目】已知在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=90°，點E以每秒1cm/s的速度由A向點B運動，ED⊥AC于點D，點M為EC的中點．

（1）求證：△BMD為等腰直角三角形.

（2）當點E運動3秒時，求△BMD的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）.

【解析】

(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM= EC，DM= EC，得出BM=DM,再由等腰三角形的性質和三角形的外角性質證出∠BMD=90°即可；

(2)由點E運動時間可求BE=12,根據勾股定理可得EC=15,進而可得BM=,進而可求的面積.

(1)∵∠ABC=90°,M為EC中點，

∴BM= EC=MC,

∴∠MBC=∠BCM,

∵DE⊥AC,M為EC中點，

∴DM= EC=MC,

∴∠MDC=∠MCD,

∴BM=DM,

∵AB=BC, ∠ABC=90°，

∴∠BCA=45°,

∵∠BME=∠MBC+∠BCM=2∠BCM,

∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD

∴∠BME+∠DME=2∠BCM+2∠MCD=2∠BCA=90°,

∴∠BMD=90°,

又∵DM=BM,

∴為等腰直角三角形.

(2) 當點E運動3秒時，AE=3×1=3cm,

∴BE=12-3=9cm,

在中，BE=9,BC=12,

∴EC= =15,

∴BM=DM= EC= ,

∴= = .

∴的面積為.