Question

【題目】矩形ABCD中，∠DBA=60°，把△ABD繞點B逆時針旋轉使得點A落在BD上，點A對稱點為點A1，點D對稱點為點D1，A1 D1與BC交于點E，連接D1C．

（1）求證：EC=EA1；

（2）求證：點D1、C、D在同一直線上．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）利用矩形的性質得∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，再根據旋轉的性質得∠A1 BD1=∠ABD=60°，A1 D1=AD=BC，∠BD1 A1=∠ADB=30°，則∠D1B C=∠A1 BD1﹣∠DBC=30°，于是根據等腰三角形的判定得BE=ED1，所以EC=E A1；

（2）利用“SAS”可證明△B E A1≌△∠CED1，則∠D1CE=∠B A1 E=90°，所以∠D1CE+∠BCD=180°，于是可判斷點D1、C、D在同一直線上．

（1）證明：∵矩形ABCD中，∠DBA=60°，

∴∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，

∵△BA1 D1是△ABD繞點B逆時針旋轉所得，且點A落在BD上，

∴∠A1 BD1=∠ABD=60°，A1 D1=AD=BC，∠BD1 A1=∠ADB=30°，

∴∠D1B C=∠A1 BD1﹣∠DBC=60°﹣30°=30°，

∴∠D1B E=∠ED1B，

∴BE=ED1，

∴BC﹣BE=A1 D1﹣ED1，

∴EC=E A1；

（2）證明：在△B E A1和△∠CED1 中，

，

∴△B E A1≌△∠CED1，

∴∠D1CE=∠B A1 E=90°，

∴∠D1CE+∠BCD=90°+90°=180°，

∴點D1、C、D在同一直線上．