Question

【題目】△ABC中，∠ACB=90°，CB=6,AC=8,點D是AC上的一點，點E是BD上一點.

（1）如圖（1），若點D在AB的垂直平分線上，求CD的長.

（2）如圖（2），連接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求點E到AC的距離.

（3）若點E到三角形兩邊的距離為1.5，求CD的長.（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）3或2或

【解析】

(1)由垂直平分線的性質可得BD=AD,AE=BE=5,設CD長為x，在中，由勾股定理列出方程即可解出CD的長；

(2)過點E作EF⊥AC于點F，EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，由角平分線的性質可得EF=EM=EN,AE、BE、CE將分割成三個三角形，利用面積關系= 可求出EF的長即為所求；

(3)根據題意可分三種情況討論：①當點E到AB和BC的距離為1.5時，過點D作DF⊥AB于點F，設CD為x,在中利用勾股定理可列出方程，求出x；②當點E到CB和CA的距離為1.5時，過點E作EM⊥AC于點M，EN⊥BC于點N，易知四邊形CMEN為正方形，可得CM=1.5，由EM∥BC,可得，進而得到,代入數據即可求出CD；③當點E到AB和AC的距離為1.5時，過點E作EM⊥AB于點M，EN⊥AC于點N，EF⊥BC于點F，易知四邊形CNEF為矩形，根據面積關系= 可求EF的長度即為CN的長度，由EN∥BC,可得進而可得,代入數據即可求出CD的長度.

(1)如圖所示，設AB的垂直平分線為DE，垂足為E，

∵∠ACB=90°，CB=6,AC=8,

∴AB==10，

∵DE垂直平分AB，

∴BD=AD,AE=BE=AB=5,

設CD=x，則AD=BD=8-x，在中，由勾股定理可得：

，

解得：，

∴點D在AB的垂直平分線上時，CD= ；

(2)如圖所示，過點E作EF⊥AC于點F，EM⊥AB于點M，EN⊥BC于點N，連接CE，

∵AE平分∠BAC,EF⊥AC,EM⊥AB,

∴EF=EM,

∵BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BC,

∴EM=EN,

∴EF=EM=EN,

設EF=EM=EN=x，則：

=

即：×AC×BC= ×AC×EF+ ×AB×EM+ ×BC×EN,

6×8=8x+10x+6x，

解得：x=2，

∴點E到AC的距離為2；

(3)根據題意可分三種情況：

①如圖所示，當點E到AB和BC的距離為1.5時，此時點E在∠CBA的角平分線上，即BD平分∠CBA，過點D作DF⊥AB于點F，

∵BD平分∠CBA，DF⊥AB,DC⊥BC,

∴CD=DF,

又∵∠C=∠DFB=90°,BD=BD,

∴(HL),

∴BF=BC=6,

∴AF=4,

設CD=x,則DF=x,AD=8-x,在中，由勾股定理可得：

，

解得:x=3,

∴當點E到AB和BC的距離為1.5時，CD=3;

②如圖所示，當點E到CB和CA的距離為1.5時，此時點E在∠BCA的角平分線上，即CE平分∠BCA，過點E作EM⊥AC于點M，EN⊥BC于點N，此時EM=EN=1.5,EM∥BC,

∵∠NCM=90°, EM⊥AC，EN⊥BC，

∴四邊形CMEN為矩形，

∵EM=EN

∴矩形CMEN為正方形，

∴CM=1.5，

設CD=x,則DM=x-1.5，

∵EM∥BC,

∴

∴,

即: ，

解得：x=2，

∴當點E到CB和CA的距離為1.5時，CD=2;

③如圖所示，當點E到AB和AC的距離為1.5時，此時點E在∠BAC的角平分線上，即AE平分∠BAC，過點E作EM⊥AB于點M，EN⊥AC于點N，EF⊥BC于點F，此時EM=EN=1.5,四邊形CNEF為矩形，

∵= ，

∴×AC×BC= ×AC×EN+ ×AB×EM+ ×BC×EF,

即6×8=8×1.5+10×1.5+6×EF,

解得：EF=,

∵四邊形CNEF為矩形，

∴CN= EF=,

設CD=x,則DN=x-，

∵EN∥BC,

∴

∴,

即: ，

解得：x=，

∴當點E到AB和AC的距離為1.5時，CD= .

綜上所述，若點E到三角形兩邊的距離為1.5，CD的長為3或2或.