Question

如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根，點C在x軸負半軸上，

且AB：AC=1：2

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）若點M從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）解得（x﹣）（x﹣1）=0，

解得x₁=，x₂=1。

∵OA＜OB，∴OA=1，OB=。∴A（1，0），B（0，）。∴AB=2。

又∵AB：AC=1：2，∴AC=4。∴C（﹣3，0）。；

（2）由題意得：CM=t，CB=2．

①當點M在CB邊上時，S=2﹣t（0≤t＜）；

②當點M在CB邊的延長線上時，S=t﹣（t＞）。

（3）存在，Q₁（﹣1，0），Q₂（1，﹣2），Q₃（1，2），Q₁（1，）。

【解析】

試題分析：（1）通過解一元二次方程，求得方程的兩個根，從而得到A、B兩點的坐標，再根據勾股定理可求AB的長，根據AB：AC=1：2，可求AC的長，從而得到C點的坐標。

（2）分①當點M在CB邊上時；②當點M在CB邊的延長線上時；兩種情況討論可求S關于t的函數關系式。

（3）分AB是邊和對角線兩種情況討論可求Q點的坐標：