Question

如圖：平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標為A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c滿足

a+2

+|b-2|+(c-b)2=0．點D為線段OA上一動點，連接CD．
（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；
（2）如圖，過點D作CD的垂線，過點B作BC的垂線，兩垂線交于點G，作GH⊥AB于H，求證：

S△CAD

S△DGH

=

AD

GH

；
（3）如圖，若點D到CA、CO的距離相等，E為AO的中點，且EF∥CD交y軸于點F，交CA于M．求

FC+2AE

3AM

的值．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的性質建立一個方程組，求出其解就可以得出A、B、C的坐標，從而可以求出OA、OB、OC的值，由勾股定理的逆定理就可以求出△ABC的形狀．
（2）由條件可以得出∠DCO=∠GDH，就有tan∠DCO=tan∠GDH，設OD=b，BH=a，則HO=2-a，根據

b

2

=

a

b+2-a

，就可以求出a、b的關系從而得出OC=DH，最后根據三角形的面積公式就可以求出結論．
（3）過點D作DG⊥AC于G，設DO=x，在Rt△AGD中由勾股定理可以得出x=2

2

-2，進而可以求出AD、ED的值，再由相似三角形的性質就可以得出CF、AM的值，從而可以求出

FC+2AE

3AM

的值．

解答：解：（1）∵

a+2

+|b-2|+(c-b)2=0，
∴

a+2 =0 |b-2|=0 (c-b)2=0

，
∴

a=-2 b=2 c=2

．
∵A（a，0），B（b，0），C（0，c），
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴AO=2，BO=2，CO=2，
∴AB=4，
∴AB²=16
在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理可以得出
AC²=8，BC²=8，
∴AC=BC，AC²+BC²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）∵GD⊥CD，GB⊥BC，GH⊥AB，
∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°．
∴∠CDO+∠GDO=∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠GDH，
∴tan∠DCO=tan∠GDH．
設OD=b，BH=a，則HO=2-a，
∵tan∠DCO=

b

2

，tan∠GDH=

a

b+2-a

．
∴

b

2

=

a

b+2-a

，
∴b²+（2-a）b-2a=0
∴（b-a）（b+2）=0，
∴b=a，b=-2
∵b＞0
∴b=-2（不符合題意，舍去），
∴b=a，
∴DH=2-a+a=2，
∴DH=CO．
∵S_△CAD=

AD•CO

2

，S_△GHD=

DH•GH

2

，
∴

S△CAD

S△DGH

=

AD•CO 2

DH•GH 2

，
∴

S△CAD

S△DGH

=

AD•CO

DH•GH

，
∵DH=CO，
∴

S△CAD

S△DGH

=

AD

GH

；

（3）如圖2，過點D作DG⊥AC于G，
∴∠AGD=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠GAD=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠GAD=∠ADG，
∴AG=GD．
∵DG=DO，
∴OD=GD=AG．
設DO=x，AD=2-x，在Rt△AGD中，由勾股定理，得
AD²=AG²+GD²，
（2-x）²=x²+x²，
x=2

2

-2．
∴DO=2

2

-2
∵E為AO的中點，
∴AE=EO=1，
∴ED=3-2

2

，AD=4-2

2

．
∵DC∥EF，
∴

DO

ED

=

CO

CF

，

AE

AD

=

AM

AC

，
∴

2 2 -2

3-2 2

=

2

CF

，

1

4-2 2

=

AM

2 2

，
∴FC=

2

-1，AM=

2

+1，
∴

FC+2AE

3AM

=

2 -1+2×1

3( 2 +1)

=

1

3

．
答：

FC+2AE

3AM

的值是

1

3

．

點評：本題考查了非負數的性質的運用，等腰直角三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，正切值的判定及運用，平行線分線段成比例定理的運用，解答本題時注意三個問題是遞進關系，必須逐一解決，利用全等三角形的性質是解答第二問的關鍵，利用平行線分線段成比例定理是求出線段長短的關鍵．