Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AC＝CB，點E，F分別是AC，BC上的點，△CEF的外接圓交AB于點Q，D．

（1）如圖1，若點D為AB的中點，求證：∠DEF＝∠B；

（2）在（1）問的條件下：

①如圖2，連結CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD為等腰三角形，求CF的長度．

②如圖2，△AED與△ECF的面積之比是3：4，且ED＝3，求△CED與△ECF的面積之比（直接寫出答案）．

（3）如圖3，連接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求證：∠QCD＝45°．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)①0或2或4﹣2;②;（3）見解析.

【解析】

（1）連結CD．根據圓周角定理解決問題即可．

（2）①分三種情形：如圖2-1中，當EH=HD，可證四邊形CFDE是正方形CF=2．如圖2-2中，當EH=ED時，∠EDH=∠EHD=67.5°，如圖2-3中，當DA=FH時，點E于A重合，點H與C重合，分別求解即可解決問題．

②如圖2-4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DF．證明△ADE≌△CDF（SAS），推出AE=CF，S△ADE=S△CDF，由DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，推出DM=DN，可得四邊形DMCN是正方形，推出DM=CM=CN=DN，因為＝＝＝＝，，所以可以假設DN=3k，EC=4k，則AC=BC=6k，AE=CF=2k，再利用三角形的面積公式計算機可解決問題．

（3）連接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．想辦法證明△ODQ是等腰直角三角形即可解決問題．

（1）證明：連結CD．

在Rt△ABC中，∵AC＝CB，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵CD＝DB，

∴∠DCB＝∠B＝45°，

∵∠DEF＝∠DCB，

∴∠DEF＝∠B．

（2）解：①如圖2﹣1中，當EH＝HD，可證四邊形CFDE是正方形CF＝2．

如圖2﹣2中，當EH＝ED時，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，

∵∠EDF＝∠CDB＝90°，

∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，

∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠BDF＝∠BFD，

∴BD＝BF，

∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝＝4，

∴BD＝BF＝2，

∴CF＝4﹣2．

如圖2﹣3中，當DA＝FH時，點E于A重合，點H與C重合，CF＝0．

綜上所述，滿足條件的CF的值為0或2或4﹣2．

②如圖中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DF．

∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB

∴DE＝DF，

∵∠ADC＝∠EDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，

∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，

∴DM＝DN，可得四邊形DMCN是正方形，

∴DM＝CM＝CN＝DN，

∵＝＝＝＝，

∴可以假設DN＝3k，EC＝4k，則AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，

∴＝＝．

（3）證明：連接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．

∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，

∴RH＝HK

∴OH＝（ER+FK），

∵ER＝AE，FK＝FB，

∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，

∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，

∴∠QOD＝90°，

∴∠QCD＝45°．