Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點E為BC延長線上一點，連接AE．

(1)如圖1，求證：AD∥BC

(2)若∠DAE和∠DCE的角平分線相交于點F．如圖2，若∠BAE=80°，求∠F的度數

(3)如圖3，∠DCE的角平分線的平分線交AE于點G,連接AC,若∠BAC=∠DAE，∠AGC=3∠CAE，則∠CAE的度數為________（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠F=50°；（3）36°．

【解析】

（1）根據平行線的性質得：∠B=∠DCE，由于∠B=∠D，得∠D=∠DCE，根據平行線的判定，可得結論；
（2）如圖，設∠DAF=∠EAF=α，∠DCF=∠ECF=β，根據平行線的性質列等式可得結論；
（3）如圖3，設∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180①，△ACG中，x+2x+y+z=180，變形后相減可得結論．

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
而∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC；
（2）如下圖，
設∠DAF=∠EAF=α，∠DCF=∠ECF=β，

∵AD∥BC，
∴∠D=∠DCE=2β，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD+∠D=180°，
∵∠BAE=80°
∴80+2α+2β=180
整理得：α+β=50°，
∵∠DHF=∠DAH+∠D=∠DCF+∠F
即：α+2β=∠F+β，
∴∠F=α+β=50°；
（3）如圖3，設∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，

則∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180①，
△ACG中，x+2x+y+z=180，
3x+y+z=180，
6x+2y+2z=360②，
②-①得：5x=180，
x=36°，
∴∠CAE=36°．