Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P，PC、AB的延長線交于點E．

（1）求證：PC是⊙O的切線．

（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）﹣．

【解析】

（1）連接OC，如圖，根據切線的性質得到∠PAB=90°，再根據垂徑定理得到CD=AD，則OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性質得到∠OCA+∠PCA=∠OAC+∠PAC=90°，然后根據切線的判定方法可判斷PC是⊙O的切線；

（2）先證明△OBC為等邊三角形得到∠BOC=60°，再計算出，然后根據扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S△OCE-S扇形BOC進行計算．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵PA為⊙O的切線，

∴PA⊥OA，

∴∠PAB＝90°，

∵OD⊥AC，

∴CD＝AD，

∴OD垂直平分AC，

∴PA＝PC，

∴∠PCA＝∠PAC，

而OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠PAC＝90°，即∠POC＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴CE＝OC＝，

∴圖中陰影部分的面積＝S△OCE﹣S扇形BOC

＝×1×﹣

＝﹣．