Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB，交上半圓于D，連接AD，將線段CD繞D點順時針旋轉90°到ED．

（1）如圖1，當點E在⊙O上時，求證：CD＝2OC；

（2）如圖2，當tanA＝時，連接OE，求sin∠EOC的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，構建四邊形CDEF，證明四邊形CDEF是正方形，得EF＝CD＝CF，再根據HL證明Rt△OFE≌△Rt△OCD，可得結論；

（2）如圖2，作輔助線，根據三角函數可設CD＝3a，則AC＝9a，設OA＝OD＝r，則OC＝9a﹣r，在Rt△OCD中用勾股定理可求得，r＝5a，最后根據三角函數的定義可得結論．

（1）證明：如圖1，過點E作EF⊥AB于F，連接OD、OE，

由旋轉得：∠CDE＝90°，CD＝DE，

∵∠EFC＝∠OCD＝90°，

∴四邊形CDEF是正方形，

∴EF＝CD＝CF，

在Rt△OFE和Rt△OCD中，

∵

∴Rt△OFE≌△Rt△OCD（HL），

∴OF＝OC＝CF＝CD

∴CD＝2OC；

（2）解：如圖2，過點E作EF⊥AB于F，連接OD，

由tan∠BAD＝，

可設CD＝3a，則AC＝9a，設OA＝OD＝r，則OC＝9a﹣r，

在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2＝OC2+CD2，即r2＝（9a﹣r）2+（3a）2，

解得：r＝5a，

即OA＝OD＝5a，OC＝4a，EF＝CF＝3a，OF＝a，

∴OE=，

∴sin∠EOC＝．