Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸相交于點A（﹣2，0）和點B（4，0），與y軸相交于點C，頂點為點P．點D（0，4）在OC上，聯結BC、BD．

（1）求拋物線的表達式并直接寫出點P的坐標；

（2）點E為第一象限內拋物線上一點，如果△COE與△BCD的面積相等，求點E的坐標；

（3）點Q在拋物線對稱軸上，如果△BCD∽△CPQ，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（1，9）；（2）點E的坐標為（2，8）；（3）點Q的坐標為（1，11）或（1，10）．

【解析】

（1）通過待定系數法代入A、B坐標即可求得解析式；

（2）根據解析式可求得點C坐標（0，8），根據點E為第一象限內拋物線上一點設點E（（x，﹣x2+2x+8）再根據S△COE＝S△BCD，可求得E點坐標.

（3）根據點B、D的坐標可得到∠BDC＝135°，要滿足△BCD∽△CPQ，∠CPQ=135°或者∠PCQ=135°，通過點C、P的坐標可得，∠PCM＝45°，所以∠MCQ=90°，Q在對稱軸上，此情況不成立，所以要滿足△BCD∽△CPQ，僅∠CPQ=135°，即Q在P點上方，可分兩類討論，或代值即可求出Q點坐標.

（1）將點A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：

解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8．

∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，

∴點P的坐標為（1，9）．

（2）當x＝0時，y＝﹣x2+2x+8＝8，

∴點C的坐標為（0，8）．

設點E的坐標為（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），

∵S△COE＝S△BCD，

∴×8x＝×4×4，

解得：x＝2，

∴點E的坐標為（2，8）．

（3）過點C作CM∥x軸，交拋物線對稱軸于點M，如圖所示．

∵點B（4，0），點D（0，4），

∴OB＝OD＝4，

∴∠ODB＝45°，BD＝4，

∴∠BDC＝135°．

∵點C（0，8），點P（1，9），

∴點M的坐標為（1，8），

∴CM＝PM＝1，

∴∠CPM＝45°，CP＝，

∴點Q在拋物線對稱軸上且在點P的上方，

∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．

∵△BCD∽△CPQ，

∴或．

①當時，，

解得：PQ＝2，

∴點Q的坐標為（1，11）；

②當時，，

解得：PQ＝1，

∴點Q的坐標為（1，10）．

綜上所述，點Q的坐標為（1，11）或（1，10）．