Question

【題目】已知，如圖拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（2，0）．OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是線段AC下方拋物線上的動點，求三角形PAC面積的最大值．

（3）在（2）的條件下，△PAC的面積為S，其中S為整數的點P作“好點”，則存在多個“好點”，則所有“好點”的個數為　 　

（4）在（2）的條件下，以PA為邊向直線AC右上側作正方形APHG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變，當頂點H或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣6；

（2）當x＝﹣時，S的最大值為：；

（3）4；

（4）點P的坐標為：（，﹣5）或（，）．

【解析】

（1）先確定點C的坐標，再利用待定系數法求解；

（2）先求出直線AC的解析式，再過點P作y軸的平行線交AC于點H，設點P的橫坐標為x，由于△PAC面積S＝PH×OA，且OA易求，只需用含x的代數式表示出PH的長即可利用二次函數的性質求出結果；

（3）根據（2）題的關系式并結合x的范圍逐一驗證S是否為整數即得答案；

（4）分點G在y軸上和點H在y軸上兩種情況，利用正方形的性質構造全等三角形分別求解即可.

解：（1）OC＝3OB＝6，故點B、C的坐標分別為：（2，0）、（0，﹣6），則拋物線為y＝ax2+3ax﹣6，

將點B的坐標代入上式得：0＝4a+6a﹣6，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣6；

（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，則x＝﹣5或2，故點A（﹣5，0），

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：直線AC的解析式為：y＝﹣ x﹣6，

過點P作y軸的平行線交AC于點H，

設點P（x，x2+x﹣6），點H（x，﹣x﹣6），

△PAC面積S＝PH×OA＝＝﹣x2﹣x，

∵﹣<0，故S有最大值， 當x＝﹣時，S的最大值為：；

（3）△PAC面積S＝﹣x2﹣x，因為點P是線段AC下方拋物線上的點，所以－5<x<0，

當x＝﹣4時，S＝6；當x＝﹣3時，s＝9；當x＝﹣2時，S=9；當x＝﹣1時，s＝6；

所以“好點”的個數為4，

故答案為4；

（4）如圖2左側圖，

①當點G在y軸上時，作PR⊥x軸于點R，

∵∠GAO+∠PAO＝90°，∠PAO+∠APR＝90°，

∴∠APR＝∠GAO，

∵∠AOG＝∠PRA＝90°，AP＝AG，

∴△AOG≌△PRA（AAS），

∴OA＝PR＝5，

故點P的縱坐標為：﹣5，

則y＝x2+x﹣6＝﹣5，解得：x＝（不合題意的值已舍去），

故點P（，﹣5）；

②當點H在y軸上時，圖2右側圖，同理可得：點P（，）；

綜上，點P的坐標為：（，﹣5）或（，）