Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點D，BD＝8cm．點M從點A出發，沿AC的方向勻速運動，同時直線PQ由點B出發，沿BA的方向勻速運動，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為t秒（0＜t≤5）．線段CM的長度記作y甲，線段BP的長度記作y乙，y甲和y乙關于時間t的函數變化情況如圖所示．

（1）由圖2可知，點M的運動速度是每秒　 cm；當t＝　 秒時，四邊形PQCM是平行四邊形？在圖2中反映這一情況的點是　 （并寫出此點的坐標）；

（2）設四邊形PQCM的面積為ycm2，求y與t之間的函數關系式；

（3）連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2，，E（，）；（2）y＝t2﹣8t+40；（3）存在，t＝s時，點M在線段PC的垂直平分線上．

【解析】

（1）先由圖2判斷出點M的速度為2cm/s，PQ的運動速度為1cm/s，再由四邊形PQCM為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到對邊平行，進而得到AP=AM，列出關于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）根據PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據相似三角形的形狀必然相同可知△BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代數式就可以表示出BF，進而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據梯形的面積公式即可得到y與t的關系式；
（3）假設存在，則根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點M作MH垂直AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對應邊成比例進而用含t的代數式表示出AH和HM的長，再由AP的長減AH的長表示出PH的長，從而在直角三角形PHM中根據勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長減AM的長表示出MC的平方，根據兩者的相等列出關于t的方程進而求出t的值．

（1）由圖2得，點M的運動速度為2cm/s，PQ的運動速度為1cm/s，

∵四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，

∴AP：AB＝AM：AC，

∵AB＝AC，

∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，

解得：t＝，

∴當t＝時，四邊形PQCM是平行四邊形，此時，圖2中反映這一情況的點是E（，）

故答案為：2，，E（，）．

（2）∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ＝PB＝t，

∴，即

解得：BF＝t，

∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，

又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，

∴y＝（PQ+MC）FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40．

（3）假設存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP＝MC，

過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：

∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴

又∵AD＝6，

∴

∴HM＝t，AH＝t，

∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，

在Rt△HMP中，MP2＝（t）2+（10﹣t）2＝t2﹣44t+100，

又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，

∵MP2＝MC2，

∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，

解得 t1＝，t2＝0（舍去），

∴t＝s時，點M在線段PC的垂直平分線上．