Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，點D為BC上一點，且AD⊥AB，點E是BD的中點，連接AE，且AE＝DE．

（1）求證：∠AEC＝∠C；

（2）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABE的周長為32.

【解析】

（1）根據△ABD是直角三角形,利用斜邊中線等于斜邊一半得到AE＝BD，進而得到AE=BE,再用外角的性質得到∠AEC =2∠B,等量代換即可解題,

（2）利用勾股定理求出AB的長,即可解題.

（1）∵AD⊥AB，∴△ABD為直角三角形，

又∵點E是BD的中點，

∴AE＝BD，

又∵BE＝BD，

∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，

又∵∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，

又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C；

（2）在Rt△ABD中，AD＝8，BD＝2AE＝2×8.5＝17，

∴AB＝＝15，

∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝15+8.5+8.5＝32