Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PE＝PB，連接PD，O為AC中點．

（1）如圖1，當點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數量關系和位置關系，請說明理由；

（2）①如圖2，當點P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；

②如圖2，試用等式來表示PB,BC,CE之間的數量關系，并證明．

（3）如圖3，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當時，連接DE，試探究線段PB與線段DE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PE=PD,PE⊥PD，證明詳見解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,證明詳見解析；②，證明詳見解析；(3)PB=DE,證明詳見解析.

【解析】

試題

（1）如圖1，過點P分別作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，則由已知條件可得PM=PN，∠MPN=90°，由正方形關于對角線對稱可得PB=PD，結合PB=PE可得PE=PD，從而可得△PME≌△PND，由此可得∠EPM=∠DPN，從而可證得∠DPE=90°，得到PD⊥PE；

（2）①如圖2，過點P分別作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，同（1）可證得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如圖2，連接DE，在Rt△DCE中，由勾股定理可得DC2+CE2=DE2，結合在等腰Rt△DPE中，DE2=2PE2及PE=PB，BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2；

（3）如圖3，由已知條件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形關于對角線對稱可得PB=PE，∠OBC=∠PDC，結合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD，再結合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°，從而可得△PDE是等邊三角形，由此即可得到DE=PE=PB.

試題解析：

（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：

如圖1，過點P分別作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，

∴∠PME=∠PND=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，點P在AC上，

∴∠BCD=90°，PM=PN，PB=PD，

∴四邊形PMCN是正方形，

∴∠MPN=90°，

∵PB=PE，

∴PE=PD，

∴Rt△PME≌Rt△PND，

∴∠DPN=∠EPM，

∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，

∴PD⊥PE，

∴PE與PE關系是：PD=PE且PD⊥PE；

（2）①如圖2，過點P分別作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，和（1）同法可證得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如圖2，連接DE，

由①可得PE=PD，PE⊥PD，

∴DE2=PD2+PE2=2PE2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

∴BC2+CE2=DE2=2PE2，

又∵PE=PB，

∴BC2+CE2=2PB2.

（3）如圖3，∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∵點P在對稱性AC上，

∴由菱形是關于對角線對稱的軸對稱圖形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，

∵PB=PE，

∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，

∴∠PEC=∠PDC，

又∵∠PHD=∠CHE，

∴∠DPE=∠DCE=60°，

∴△PED是等邊三角形，

∴DE=PE，

∴DE=PB.