Question

4．如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC，FG，則下列結論中：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE．其中正確結論的個數（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對應角相等，得到∠CBD=∠CAE，根據ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得CF=CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③正確．

解答 解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，（①正確）
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，
在△BCF與△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCA=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，（②正確）；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等邊三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，（③正確）．
故選C．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質．此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，合理應用數形結合思想．