Question

【題目】（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E是在AB、CD之間，且在BD的左側(cè)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BE、DE．求證：∠E=∠ABE+∠CDE．

（2）如圖2，在（1）的條件下，作出∠EBD和∠EDB的平分線，兩線交于點(diǎn)F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）如圖3，在（1）的條件下，作出∠EBD的平分線和△EDB的外角平分線，兩線交于點(diǎn)G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠EBD+∠EDB=180°-（∠ABE+∠CDE），進(jìn)而得出∠DBF+∠BDF=90°- （∠ABE+∠CDE），最后用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；

（3）先由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，再利用角平分線的意義和三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）如圖，

過點(diǎn)E作EH∥AB，

∴∠BEH=∠ABE，

∵EH∥AB，CD∥AB，

∴EH∥CD，

∴∠DEH=∠CDE，

∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；

（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，

理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，

∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，

∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），

∵BF，DF分別是∠DBE，∠BDE的平分線，

∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，

∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），

∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE），

在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE），

即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；

（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：如圖3，

由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，

∵BG是∠EBD的平分線，

∴∠DBE=2∠DBG，

∵DG是∠EDP的平分線，

∴∠EDP=2∠GDP，

∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），

∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE）

∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE），

∴2∠G=∠ABE+∠CDE．