Question

【題目】定義，如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N為線段AB的勾股分割點．

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=5，求BN的長

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AC=BC，點M，N在斜邊AB上，∠MCN=45°，求證：點M，N是線段AB的勾股分割點；陽陽在解決第（2）小題時遇到了困難，陳老師對陽陽說：要證明勾股分割點，則需設法構造直角三角形，你可以把△CBN繞點C逆時針旋轉90度試試，請根據(jù)陳老師的提示完成證明過程．

（3）如圖3，C是線段AB上的一定點，請在BC上畫一點D，使C、D是線段AB的勾股分割點

（要求：完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并在右側分步寫出作圖步驟）

Answer 1

【答案】（1）4或.（2）證明見解析，（3）作圖見解析.

【解析】

（1）分兩種切線利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖，過點A作AD⊥AB，且AD=BN．只要證明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再證明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解決問題；

（3）根據(jù)定義畫圖即可.

（1）解：當MN最長時，BN==4；

當BN最長時，BN=；

（2）證明：如圖，過點A作AD⊥AB，且AD=BN

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°

∴∠MCD=∠BCM，

∴△MDC≌△MNC，

∴MD=MN

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴點M，N是線段AB的勾股分割點．

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點D即為所求；如圖3中所示．