Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB垂直于CD，垂足為H，∠EAD=∠HAD．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）延長AE與CD的延長線交于點P，過D 作DE⊥AP，垂足為E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OA，如圖所示．

∵AB⊥CD，

∴∠AHD=90°，

∴∠HAD+∠ODA=90°．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

又∵∠EAD=∠HAD，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∴OA⊥AE．

又∵點A在圓上，

∵AE為⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，

OA2+AP2=OP2，即x2+22=（x+1）2，

解得：x=1.5，

∴⊙O的半徑為1.5．

∵DE⊥AP，OA⊥AP，

∴OA∥DE，

∴△PED∽△PAO，

∴ = ，即 = ，

解得：DE= ．

【解析】（1）連接OA，根據垂線的定義結合角的計算，即可得出∠EAD+∠OAD=90°，從而得出OA⊥AE，再由點A在圓上，即可證出AE為⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，進而可得出△PED∽△PAO，根據相似三角形的性質即可求出DE的長度．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．