Question

【題目】在平面直角坐標系中，給出如下定義：形如y=（x﹣m）（x﹣m+1）與y=（x﹣m）（x﹣m﹣1）的兩個二次函數的圖象叫做兄弟拋物線．

（1）試寫出一對兄弟拋物線的解析式．

（2）若二次函數y=x2﹣x（圖象如圖）與y=x2﹣bx+2的圖象是兄弟拋物線．

①求b的值．

②若直線y=k與這對兄弟拋物線有四個交點，從左往右依次為A，B，C，D四個點，若點B，點C為線段AD三等分點，求線段BC的長．

Answer 1

【答案】（1）將m=0代入y=（x﹣m）（x﹣m+1）與y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），即可得到一對兄弟拋物線

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．分兩種情況討論：

情況一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），求出m=1，得到另一個函數解析式，進而得出b的值；

情況二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），同理求解；

【解析】試題分析：（1）將m=0代入y=（x﹣m）（x﹣m+1）與y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），即可得到一對兄弟拋物線；

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．分兩種情況討論：

情況一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），求出m=1，得到另一個函數解析式，進而得出b的值；

情況二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），同理求解；

②根據平移的規律可知，y=x2﹣3x+2的圖象可以看作是由y=x2﹣x的圖象向右平移1個單位得到，分兩種情況：如果k＞0，則點A與點B是平移對應點，AB=1，再根據三等分點的定義即可求解；如果k＜0，則點A與點C是平移對應點，AC=1，同理求解即可．

試題解析：

（1）當m=0時，得到一對兄弟拋物線，

y=x（x+1）與y=x（x﹣1）；

（2）①y=x2﹣x=x（x﹣1）．

情況一：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m+1），則m=1，則另一個函數為y=（x﹣1）（x﹣2），即y=x2﹣3x+2，b=3．

情況二：若y=x（x﹣1）是形如y=（x﹣m）（x﹣m﹣1），則m=0，則另一個函數為y=x（x﹣1），即y=x2﹣x，與已知矛盾．

②y=x2﹣3x+2的圖象可以看作是由y=x2﹣x的圖象向右平移1個單位得到，如圖．

如果k＞0，則點A與點B是平移對應點，AB=1，

∵點B，點C為線段AD三等分點，

∴AB=BC=CD=AD=1，即BC=1；

如果k＜0，則點A與點C是平移對應點，AC=1，

∵點B，點C為線段AD三等分點，

∴AB=BC=AC=，即BC=．

故線段BC的長為1或．