Question

已知：關于x的二次函數（a＞0），點A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在這個二次函數的圖象上，其中n為正整數．
（1）y₁=y₂，請說明a必為奇數；
（2）設a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）對于給定的正實數a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數式表示）；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（n，y₁）、B（n+1，y₂）都在二次函數（a＞0）的圖象上，
∴。
∵y₁=y₂，
∴，整理得：a=2n+1。
∵n為正整數，∴a必為奇數。
（2）當a=11時，∵y₁＜y₂＜y₃，
∴。
化簡得：。解得：。
∵n為正整數，∴n=1、2、3、4。
（3）存在。
假設存在，則AB=AC，
如圖所示，過點B作BN⊥x軸于點N，過點A作AD⊥BN于點D，CE⊥BN于點E，

∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，∴AD=CE=1。
在Rt△ABD與Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）。
∴∠BAD=∠CBE，即BN為頂角的平分線。
由等腰三角形性質可知，點A、C關于BN對稱。
∴BN為拋物線的對稱軸，點B為拋物線的頂點，
∴�！�。
∴存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，。

（1）將點A和點B的坐標代入二次函數的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）將a=11代入解析式后，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數解。
（3）本問為存在型問題，如圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性質，判定點B為拋物線的頂點，點A、C關于對稱軸對稱，于是得到，從而可以求出。