Question

如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）當點P的坐標為（﹣4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．連接AN，當△AMN的面積最大時，
①求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），
∴設二次函數的解析式為：y=a（x+3）（x+1）。
∵二次函數的圖象經過點C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1。
∴二次函數的解析式為：y=（x+3）（x+1），即y =x²+4x+3。
（2）證明：在二次函數解析式y=x²+4x+3中，當x=﹣4時，y=3，∴P（﹣4，3）。
∵P（﹣4，3），C（0，3），∴PC=4，PC∥x軸。
∵一次函數y=kx﹣4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當y=0時，x=4，∴Q（4，0），OQ=4。
∴PC=OQ。
又∵PC∥x軸，∴四邊形POQC是平行四邊形。
∴∠OPC=∠AQC。
（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答圖1所示，過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO。
∴，即，
解得：。
設S=S_△AMN，則：
。
又∵AQ=7，點M的速度是每秒3個單位長度，
∴點M到達終點的時間為t=，
∴（0＜t≤）。
∵＜0，＜，且x＜時，y隨x的增大而增大，
∴當t=時，△AMN的面積最大。
②假設直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC。
由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1。
此時點M與點O重合，如答圖2所示，

設PQ與OC交于點E，由（2）可知，四邊形POQC是平行四邊形，
∴OE=CE。
∵點E到CQ的距離小于CE，
∴點E到CQ的距離小于OE。
而OE⊥x軸，
∴PQ不是∠AQC的平分線，這與假設矛盾。
∴直線PQ不能垂直平分線段MN

試題分析：（1）利用交點式求出拋物線的解析式。
（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結論得證。
（3）①求出△AMN面積的表達式，利用二次函數的性質，求出△AMN面積最大時t的值。
②由于直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離不相等，則直線PQ不能平分∠AQC，所以直線PQ不能垂直平分線段MN。