Question

如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x交于點(diǎn)C．在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．

（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？
（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴x=0時(shí)，y=4；y=0時(shí)，x=8。∴BO=4，AO=8。∴。
當(dāng)t秒時(shí)，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP。∴，即。
∴AP=2t。
∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度。
（2）∵當(dāng)OP=OQ時(shí)，PE與QF重合，此時(shí)t=，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，
∴分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當(dāng)0＜t＜。即點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t。
∴8－3t=t。
解得：t=2。
如圖2，當(dāng)＜t≤4，即點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。

∴。
∴。
解得：t=4。
∴當(dāng)t為2秒或4秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形。
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當(dāng)0＜t＜時(shí)，Q在P點(diǎn)的左邊
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴。
∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為，
如圖2，當(dāng)＜t≤4時(shí)，Q在P點(diǎn)的右邊，
∵OQ=t，PA=2t，∴。
∴。
∵當(dāng)＜t≤4時(shí)，S隨t的增大而增大，∴t=4時(shí)，S的最大值為：3×4²﹣8×4=16。
綜上所述，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值為：16。

試題分析：（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用EP∥BO，得出，據(jù)此可以求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度。
（2）當(dāng)PQ=PE時(shí)，以及當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，分別求出即可。
（3）根據(jù)（2）中所求得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可。