Question

如圖1，平面之間坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經過O，C兩點做拋物線（a為常數，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y₂=kx（k為常數，k＞0）

（1）填空：用含t的代數式表示點A的坐標及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）隨著三角板的滑動，當a=時：
①請你驗證：拋物線的頂點在函數的圖象上；
②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，∴點A的坐標是（t，4）。
∵直線OA：y₂=kx（k為常數，k＞0），∴4=kt，則（k＞0）。
（2）①當a=時，，其頂點坐標為。
對于，當x=時，
∴點在拋物線上。
∴當a=時，拋物線的頂點在函數的圖象上。
②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K，

∵AC⊥x軸，∴AC∥EK。
∵點E是線段AB的中點，∴K為BC的中點。
∴EK是△ACB的中位線。
∴EK=AC=2，CK=BC=2。∴E（t+2，2）。
∵點E在拋物線上，
∴，解得t=2。
∴當三角板滑至點E為AB的中點時，t=2。
（3）如圖2，由得，

解得，或x=0（不合題意，舍去）。
∴點D的橫坐標是。
當時，|y₂﹣y₁|=0，由題意得，即。
又，
∴當時，取得最大值。
又當時，取得最小值0，
∴當時，的值隨x的增大而減小，當時，的值隨x的增大而增大。
由題意，得，將代入得，解得。
綜上所述，a與t的關系式為，t的取值范圍為。

試題分析：（1）根據題意易得點A的橫坐標與點C的相同，點A的縱坐標即是線段AC的長度；把點A的坐標代入直線OA的解析式來求k的值：
（2）①求得拋物線y₁的頂點坐標，然后把該坐標代入函數，若該點滿足函數解析式，即表示該頂點在函數圖象上；反之，該頂點不在函數圖象上。
②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．則EK是△ACB的中位線，所以根據三角形中位線定理易求點E的坐標，把點E的坐標代入拋物線即可求得t=2。
（3）如圖2，根據拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標是，則，由此可以求得a與t的關系式。由求得取得最大值時的x值，同時由時，取得最小值0，得出當時，的值隨x的增大而減小，當時，的值隨x的增大而增大。從而由題意，得，結合，求出t的取值范圍。