Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E，F兩點，連結DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為6，弧DE的長度為2π．

（1）求證：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD、OE，

設∠EOD=n°，

∵弧DE的長度為2π，

∴2π= ，

∴n=60°，

∴△EOD是等邊三角形，

∴∠ODE=60°，

∵AB是⊙O的切線，

∴∠ODA=90°

∴∠EAD=30°，

∴∠B=∠EAD，

∴ED∥BC，

（2）解：連接FD，

由（1）可知ED∥BC，

∴∠AED=∠C=90°，

∴由圓周角定理可知：FD是⊙O的直徑，

∴∠AFD=30°，

∴cos∠AFD= ，DF=12

∴AF=8 ，

∵cos∠AFD= ，

∴EF=6 ，

∴CE=AF=8 ，

∴AE=CF=2 ，

∴AC=10 ，

∵tanB= ，

∴BC=30，

【解析】（1）根據弧長公式求出n的度數，得到△EOD是等邊三角形，由AB是⊙O的切線，得到∠B=∠EAD，由平行線的判定方法得出ED∥BC；（2）由圓周角定理可知FD是⊙O的直徑，由特殊角的函數值，求出EF、CE=AF、AE=CF、AC的值，由三角函數求出BC的值.